matenet.ro

Fie functia \( f:\left[ -1;1\right] \rightarrow \mathbb{R}\), \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c}% \frac{\pi}{2}-2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}},~~~x\in(-1;1]\\ -\frac{\pi}{2},~~x=-1 \end{array} \right. \] si \[M=\left\{ \left. m\in% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \m...

Sa se calculeze \[\large \int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} \]

Să se calculeze suma \[S = \left[ \sqrt {1} \right] + \left[ \sqrt {2} \right] + \left[ \sqrt {3} \right] + \ldots + \left[ \sqrt {2025} \right]\] unde \( \left[ x \right] \) reprezintă partea întreagă a numărului \(x\).

Se consideră functiile \(f,g:\left( {0,\infty } \right) \to \mathbb{R} \), \[f(x) = \frac{1}{{(1 + {x^2})(1 + {x^3})}}\] si \[g\left( x \right) = \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_1^x {{t^3}f\left( t \right)dt} + \ln x.\] Determinati ecuatia tangentei la graficul functi...

Se observă usor că \( x=8\) este solutie iar unicitatea acestei solutii este asigurată de faptul că functia \( \sqrt {x + 1} + {\log _2}x \) este strict crescătoare pe domeniul de definitie, \( (0, +\infty )\) (fiind sumă de functii strict crescătoare).

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia \[ \large \sqrt {x + 1} + {\log _2}x = 6\]

Derivand obtinem că \(1 + f\left( x \right) = f\left( x \right) + \left( {x + 1} \right) \cdot {f^{\prime }}\left( x \right)\), de unde \[{f^{\prime }}\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}},\] si ca urmare \[f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) + c.\] Pentru aflarea constantei putem face \(x...

Aflati functia derivabilă \( f:[0, + \infty ) \to \mathbb{R} \) cu proprietatea că pentru orice \( x \) pozitiv are loc relatia \[x + \int_0^x {f(t)dt} = \left( {x + 1} \right) \cdot f\left( x \right).\]