matenet.ro

Aflati functia derivabilă \( f:[0, + \infty ) \to \mathbb{R} \) cu proprietatea că pentru orice \( x \) pozitiv are loc relatia \[x + \int_0^x {f(t)dt} = \left( {x + 1} \right) \cdot f\left( x \right).\]

Derivand obtinem că \(1 + f\left( x \right) = f\left( x \right) + \left( {x + 1} \right) \cdot {f^{\prime }}\left( x \right)\), de unde
\[{f^{\prime }}\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}},\]
si ca urmare \[f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) + c.\]
Pentru aflarea constantei putem face \(x=0\) in relatia din enunt si obtinem \(0 + \int_0^0 {f(t)dt} = (0 + 1) \cdot f\left( 0 \right)\) de unde \(f\left( 0 \right) = 0\), adică \(\ln \left( {0 + 1} \right) + c = 0\), asadar \( c=0 \).