matenet.ro

Sa se rationalizeze numitorul fractiei \[ \frac{7}{1+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2}} \]
Exercitiul este din manualul de la Ed. Fair Partners
M-am gandit sa amplific cu o expresie de forma \( a+b\sqrt{2}+c\sqrt[4]{2} \) si sa incerc sa determin coeficientii rationali \(a,b,c\) dar se complica foarte tare lucrurile.

Amplifică mai intai cu \( (1+\sqrt{2})+\sqrt[4]{2} \) iar după efectuarea calculelor vei mai face o rationalizare usor de văzut!

Multumesc, admin!
Prima amplificare:
\[
\large \frac{7}{{1 + \sqrt 2 - \sqrt[4]{2}}} = \frac{{7 \cdot \left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt[4]{2}} \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{2}} \right)}^2}}} = \frac{{7 \cdot \left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt[4]{2}} \right)}}{{1 + 2\sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 }} = \frac{{7 \cdot \left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt[4]{2}} \right)}}{{3 + \sqrt 2 }}
\]
Apoi următoarea:

\[
\large = \frac{{7 \cdot \left( {3 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt[4]{2}} \right)}}{{{3^2} - 2}} = \left( {3 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt[4]{2}} \right)
\]